双曲函数

射线出原点交单位双曲线

\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1

于点

\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)

，这里的

\scriptstyle a

是射线、双曲线和x轴围成的面积的二倍。对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值

双曲函数示意图

几个双曲函数的图形。

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 $\sinh$ 和双曲余弦函数 $\cosh$ ，从它们可以导出双曲正切函数 $\tanh$ 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

基本定义

sinh、cosh和tanh

csch、sech和coth

最简单的几种双曲函数为^[1]：

双曲正弦：
$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
双曲余弦：
$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
双曲正切：
$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$
双曲余切：当 $x \neq 0$
$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$
双曲正割：
$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.$
双曲余割：当 $x \neq 0$
$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.$

函数 $\cosh x$ 是关于y轴对称的偶函数。函数 $\sinh x$ 是奇函数。

如同当 $t$ 遍历实数集 $\mathbb {R}$ 时，点（ $\cos t$ , $\sin t$ ）的轨迹是一个圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 一样，当 $t$ 遍历实数集 $\mathbb {R}$ 时，点（ $\cosh t$ , $\sinh t$ ）的轨迹是单位双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的右半边。这是因为有以下的恒等式：

\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（ $\cosh t$ , $\sinh t$ ）的直线之间的面积的两倍。

历史

在直角双曲线（方程

y={1 \over x}

）下，双曲线三角形（黄色），和对应于双曲角u的双曲线扇形（红色）。这个三角形的边分别是双曲函数中

\cosh

和

\sinh

的

{\sqrt {2}}

倍。

在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数^[2]，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积^[3]。自然对数函数是在直角双曲线 $xy=1$ 下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线 $y=x$ 上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角 $u$ ，在渐近线即x或y轴上需要有的 $x$ 或 $y$ 的值。显见这里的底边是 $\left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ，垂线是 $\left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

$\cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}$
$\sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}$

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线 $xy=1$ 下双曲角的 ${1 \over 2}$ 。

虚数圆角定义

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果 $x$ 是实数而 $i^{2}=-1$ ，则

\cos(ix)=\cosh(x),\quad

-i\sin(ix)=\sinh(x).

所以双曲函数 $\cosh$ 和 $\sinh$ 可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成 $\cosh$ 函数，后者形成了 $\sinh$ 函数。 $\cos$ 函数的无穷级数可从 $\cosh$ 得出，通过把它变为交错级数，而 $\sin$ 函数可来自将 $\sinh$ 变为交错级数。上面的恒等式使用虚数 $i$ ，从三角函数的级数的项中去掉交错因子 $(-1)^{n}$ ，来恢复为指数函数的那两部份级数。

e^{x}=\cosh x+\sinh x\!

{\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

双曲正弦：^[1]
$\sinh x=-i\sin(ix)\!$
双曲余弦：^[1]
$\cosh x=\cos(ix)\!$
双曲正切：
$\tanh x=-i\tan(ix)\!$
双曲余切：
$\coth x=i\cot(ix)\!$
双曲正割：
$\operatorname {sech} x=\sec(ix)\!$
双曲余割：
$\operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!$

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。

与三角函数的类比

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线^[4]。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。

给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角 $\alpha$ 得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:

正弦同样是从x轴到曲线的半弦。
余弦同样是从y轴到曲线的半弦（图中的余弦是长方形的另一条边）。
正切同样是过x轴上单位点（1,0）在曲线上的切线到终边的长度。
余切同样是从y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和曲线连线之长度。
正割同样是在一个有正切和单位长的直角三角形上，但边不一样。
余割同样是y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和原点之距离。
角的量值可以从0到无限大，但 $\alpha$ 实际上只会介于 $0$ 到 $2\pi$ （360 度）之间，其余是 $\alpha$ 的同界角，再绕着圆旋转，故三角函数可以有周期。双曲角的量值可以从 $0$ 到无限大，但 $\alpha$ 实际上不会超过 ${\frac {\pi }{4}}$ （45 度），故无法如三角函数一样有周期性。

恒等式

与双曲函数有关的恒等式如下:

\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1

加法公式：

\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y

\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y

\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}

二倍角公式：

\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x

\cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1

半角公式：

\cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}

\sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}

由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个 $\sinh$ 的积的项（包括 $\coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y$ ）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式^[5]。如

三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：

\sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x

\cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x

而对应的双曲函数三倍角公式则是：

\sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x

\cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x

差角公式：

三角函数的差角公式为：

\cos(x-y)\ =\cos x\cos y+\sin x\sin y

而对应的双曲函数的差角公式则是：

\cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y

双曲函数的导数

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x\,

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x=\sinh x\,

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\,

双曲函数的泰勒展开式

双曲函数也可以以泰勒级数展开:

\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi

（罗朗级数）

\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi

（罗朗级数）

其中

B_{n}

是第n项伯努利数

E_n

是第n项欧拉数

双曲函数的积分

\int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C

\int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C

\int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C

\int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C

\int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C

\int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C

与指数函数的关系

从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恒等式:

e^{x}=\cosh x+\sinh x

和

e^{-x}=\cosh x-\sinh x

复数的双曲函数

因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数 $\sinh z$ 和 $\cosh z$ 是全纯函数。

指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：

{\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}

所以:

{\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}

因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为 $2\pi i$ （对双曲正切和余切是 $\pi i$ ）。

反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

{\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. Hyperbolic Functions. mathworld.wolfram.com. [2020-08-29] （英语）.
^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-27], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra （页面存档备份，存于网际网路档案馆）, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"
^ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902

参见

[:1-2] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. Hyperbolic Functions. mathworld.wolfram.com. [2020-08-29] （英语）.

[3] Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.

[4] Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-27], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.

[5] Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra （页面存档备份，存于网际网路档案馆）, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"

[6] G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae, The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902

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