洛必达法则

罗必达法则（法语：Règle de L'Hôpital，英语：L'Hôpital's rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。该法则以法国数学家纪尧姆·德·罗必达的名字命名，但实际上是由瑞士数学家约翰·白努利所发现。

叙述

罗必达法则可以求出特定函数趋近于某数的极限值。令 $c\in {\bar {\mathbb {R} }}$ （扩展实数），两函数 $f(x),g(x)$ 在以 $x=c$ 为端点的开区间可微， $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\in {\bar {\mathbb {R} }}$ ，并且 $g'(x)\neq 0$ 。

如果 $\lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}{g(x)}=0$ 或 $\lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=\infty$ 其中一者成立，则称欲求的极限 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 为未定式。

此时罗必达法则表明：

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ 。

对于不符合上述分数形式的未定式，可以通过运算转为分数形式，再以本法则求其值。以下列出数例：

欲求的极限	条件	转换为分数形式的方法
（1） $\lim _{x\to c}f(x)g(x)\!$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$ 或 $\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
（2） $\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))\!$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$
（3） $\lim _{x\to c}{f(x)}^{g(x)}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$ 或 $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
（4） $\lim _{x\to c}{f(x)}^{g(x)}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$

注意：不能在数列形式下直接用罗必达法则，因为对于离散变数是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。

证明

下面仅给出 $\lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0,\,g'(a)\neq 0$ 的证明。

设两函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 在a 点附近连续可导， $\ f(x)$ 及 $\ g(x)$ 都在 a 点连续，且其值皆为 0 ，

f(a) = 0;\; g(a) = 0, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = 0;\; \lim_{x \to a} g(x) = 0

为了叙述方便，假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面，两函数的导数比值在 a 点存在，记为

\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L.

由极限的定义，对任何一个 $\epsilon > 0$ ，都存在 $\eta > 0$ ，使得对任意的 $a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a$ ，都有：

L - \epsilon\leqslant \frac{f'(x)}{g'(x)} \leqslant L + \epsilon

而根据柯西均值定理，对任意的 $a - \eta \leqslant x \leqslant a + \eta, \,\, x \neq a$ ，都存在一个介于 $a$ 和 $x$ 之间的数 $\xi$ ，使得：

$\frac{f(x)}{g(x)}$	$= \frac{ f(x) - f(a) }{ g(x) - g(a) } = \frac{f'( \xi )}{g'( \xi )}$
于是，	$L - \epsilon \leqslant \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant L + \epsilon$

因此，

极限

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} .

例子

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \pi x}{\pi x}}\,$	$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\,$
	$= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \,$	$= \frac{1}{1} = 1\,$

$\lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}$	$=\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}$
	$=\lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x}$
	$=\lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x}$
	$={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0}$
	$=6\,$

$\lim_{x\to 0} {r^x - 1 \over x}$	$=\lim_{x \to 0}{\frac{d}{dx}r^x \over \frac{d}{dx}x}$
	$=\lim_{x \to 0}{r^x \ln r \over 1}$
	$=\ln r \lim_{x \to 0}{r^x}$
	$=\ln r\!$

\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2} =\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x} =\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}

\lim _{{x\to \infty }}{\frac {{\sqrt {x}}}{\ln(x)}}=\lim _{{x\to \infty }}{\frac {\ {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\ }{{\frac {1}{x}}}}=\lim _{{x\to \infty }}{\frac {{\sqrt {x}}}{2}}=\infty

\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x} =\lim_{x\to\infty}{x^n \over e^x} =\lim_{x\to\infty}{nx^{n-1} \over e^x} =n\lim_{x\to\infty}{x^{n-1} \over e^x}= 0

\lim _{{x\to 0+}}(x\ln x)=\lim _{{x\to 0+}}{\ln x \over {\frac {1}{x}}}=\lim _{{x\to 0+}}{{\frac {1}{x}} \over -{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{{x\to 0+}}-x=0

$\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}$	$= \left\{\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\right\}\cdot \left. \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} \, \right\|_{t = 0}$
	$= 1 \cdot 1 = 1$

$\lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}$	$= \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}$
	$={\mathrm {sinc}}\left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \left({\frac {{\frac {-\pi }{2}}}{-2}}\right)$
	$= \sin\left(\frac{\pi}{2\alpha}\right)\cdot \frac{\alpha}{2}$

参阅

极限

参考文献

来源

L'Hôpital's Rule. [2020-10-20]. （原始内容存档于2020-12-31）.

参考

^ Eli Maor. The Story of a Number. Princeton University Press. : p.116. ISBN 0-691-05854-7.

[1] Eli Maor. The Story of a Number. Princeton University Press. : p.116. ISBN 0-691-05854-7.